猜想中验证   验证中发现

           ——人教版五年级上册《三角形面积计算》案例与反思

  襄阳市第二十五中学小学部 郭岚 

【教学背景】

数学新课标指出：要让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。故在教学中我认为数学教学必须与实践相结合，让学生在探索中学习，在动手中发展，真正实现学生在学习中的自我完善。

 “三角形面积的计算”是九年制义务教育六年制第九册第三单元的内容，是在学生掌握认识三角形特征，学会平行四边形面积的计算，并形成一定空间观念的基础上进行教学的。小学五年级的学生有一定的操作、观察、思考、表达能力。但由于他们的年龄小，抽象思维能力较差，空间观念薄弱，故给几何知识的教学带来一定的困难。因此教学时我从学生的优势着手，重视直观教学，充分运用教具、学具让学生动手操作。启发学生把三角形转化为已经会计算面积的图形，主动探究原来的三角形与转化后的平行四边形（或长方形）之间各部分有什么联系，从而找到三角形面积的计算方法。在知识构建的过程中，引导学生获得对三角形面积计算公式最直接的体验，学生能主动地把要学的知识学得好，记得牢。并且学以致用，把三角形面积计算公式运用到生活中去解决实际问题，体会到三角形面积计算的意义和价值，获得广泛的数学活动经验。

【课堂写真】

[教学片断一]

（出示红领巾）同学们，看老师今天带来了什么？（生：红领巾。）你知道做一条红领巾要用多少布吗？（生：不知道）红领巾是什么形状的?（生：三角形的。）那实际上是求什么？（生：三角形面积）这节课我们就一起来研究三角形面积的计算方法。

关于这一课题，你想提出哪些问题呢？（学生提出问题，教师筛选作为本节课要研究的问题）。

生：三角形的面积到底怎样计算呢？

生：三角形的面积与它的什么有关？有什么关系呢？

师：那么大家猜一猜三角形的面积与什么有关？怎样计算呢？

生：平行四边形的面积与它的底和高有关，我猜想三角形的面积也与它的底和高有关吧？

生：我猜想三角形的面积与它的三条边的长短有关吧！

生：平行四边形的面积等于底乘高，我猜想三角形的面积也与它的底和高有关吧！

生：平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积会不会也是底乘高呢？

生：不会吧！我猜想三角形的面积应该等于底乘高除以二。

师：同学们敢于大胆提出自己的猜想，真不错！那么到底谁的猜想是正确的呢？我们要通过实践来验证。下面请同学们以小组为单位，想办法来验证，看谁的猜想是正确的。

【反思：用学生身边的具体实物——红领巾为媒介，引出要探讨的问题：三角形的面积怎样计算，不仅设置了悬念，同时还让学生感受到生活中处处都有数学问题，可以激发学生的探知欲望。通过新旧知识的生长点，建立新旧知识之间的联系，让学生进行有目的的猜想。】

[教学片断二]

师：请每个同学把信封里准备的学具倒出来(3对各种各样的三角形)，自己先动手试试，看能想出什么办法。教师巡视，参与到几个小组的活动中。(多数同学在尝试中有所发现。)
 师：把你们的发现先在四人小组交流。
    师：同学们都拼好了，谁来说说你是怎样拼的？
    生：我用两个直角三角形拼成了一个平行四边形。
    师：我这也有两个直角三角形，可是拼不成，为什么？你有什么发现？
    生：要用完全相同的三角形来拼。
    师：你拼时怎么知道是两个完全相同的三角形呢？
    生：把两个三角形重合就知道了。
    师：对，要用两个完全相同的三角形来拼。
    师：还有不同的拼法吗？
    生：我用两个完全相同的锐角三角形拼成了一个平行四边形。
    生：我用两个完全相同的钝角三角形也拼成了一个平行四边形。
    （学生汇报并且交流拼法，明确用两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。）
    师：看看这几种拼法它们有什么共同点呢？认真观察，同桌互相说说。
    师：说的真好，刚才同学们把两个形状完全一样的三角形通过拼组，转化成了平行四边形，也就把三角形面积的计算和我们刚学过的平行四过形面积计算联系起来了，下面我们再次合作，根据你们转化的图形，找到它们之间的联系，推导出三角形面积的计算公式。（生讨论交流）

师：谁来说说你是怎样推导的？  生汇报，    

师板书：三角形的面积＝底×高÷2
    师：你们的发现太棒了！下面请同学再仔细观察所拼成的平行四边形的底与三角形的底，所拼成的平行四边形的高与三角形的高看看有什么发现？
    师：我们把这种相等的关系叫等底等高。
    师：那么三角形的底乘以三角形的高求出的是什么？
    生：与三角形等底等高的平行四边形的面积。
    师：为什么除以2呢？
    生：因为三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，所以要除以2。
    师：大家同意吗？无论什么样的三角形，它的面积都可以转化成平行四边形的面积来计算，所以我们得到三角形的面积公式＝底×高÷2
    师：谁能用字母表示三角形的面积公式
    师板书s=ah÷2（生齐读）
 【反思：在新课的教学过程中，改变由以往领着生一步步做的方法，而是给学生出示，提供了探究活动所必须的一些教学具，让学生可能产生的问题都能在这些材料中进行研究，同时给学生提供足够的思维空间，让学生在动手操作中具体感知，在小组讨论中发展自己的思维，共同提高，采用先让学生根据提供的材料讨论，再动手实践，然后共同研究的方式，这种方法把学生个体的自我反馈、学生群体间的互相交流，与师生间的信息反馈、交流及时联系起来，使学生通过合作学习互相启发，使学生的思维在学习过程中始终处于积极、活跃、主动的状态。】

[教学片断三]

师：下图中哪两个三角形的面积相等？
1．学生口答。
2．师：为什么这两个三角形的面积相等?
生：它们的底相等，高也相等，所以面积相等。
3．师：用这两个三角形能拼成一个平行四边形吗?它们面积相等怎么不能拼成一个平行四边形呢?从这里你能看出什么?
  生1：面积相等的两个三角形不一定能拼成一个平行四边形。
　　生2：只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。
　　生3：“面积相等”不一定“完全一样”，而“完全一样”表示形状相同、面积相等。
4．师板书：完全一样面积相等。 

【反思：通过练习,让学生进一步理解“完全一样”的含义，明确等底等高的两个三角形不一定能拼成一个平行四边形，只有完全一样的两个三角形才行。】

【分析研究】

数学课程标准对这一阶段儿童在“空间与图形”内容的标准是：应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换……。因此，我在教学中，结合“三角形的面积”这一课题，引导学生发现问题，提出问题，让学生在猜想中去验证，激发他们探究新知识的强烈欲望。
    让学生根据现实和知识背景自由地思考，大胆提出自己的猜想：三角形的面积与已学的长方形、平行四边形的面积有没有关系？有什么关系？接着让学生拿出自己准备的三角形、平行四边形（长方形）进行操作、验证、讨论、交流。交流中出现了几种验证方法：有用两个同样的直角三角形、锐角（钝角）三角形拼成了一个长方形或平行四边形；有的反其道而行之，把一个平行四边形或长方形沿着其一条对角线剪成两个同样的三角形等等。在整个探究过程中，学生经过观察、猜想、操作、验证、推导、交流等活动，自己研究，发现了三角形面积的计算方法，感悟到“猜测——操作——验证”这一探究性学习的重要方法。由此可见，通过“猜想——验证”的途径来发现问题和解决问题，引导学生自主探索和发现，给予学生观察、发现、猜测、实践、验证、交流、讨论的活动时空，让学生亲身体验知识形成和发展过程，使其真正成为探究活动的主体，他们的探究、创新能力才能得到有效发展。